Pi greco e Aleph a teatro
Pi greco (π) è un numero molto presente nei corsi di matematica della scuola media. Lo si usa per calcolare lunghezze di circonferenze, aree di cerchi, aree e volumi di cilindri, coni e sfere. Ma come introdurre un numero irrazionale trascendente a ragazzi così giovani senza generare concezioni errate? Ci ho provato immaginando un percorso didattico che si è rivelato coinvolgente e divertente per i ragazzi di terza media, con i quali è stato realizzato alcuni anni fa a Romàns d’Isonzo (Gorizia).
Il punto di partenza
In seconda media avevo presentato π come il rapporto costante C/d fra la lunghezza di una qualunque circonferenza e il suo diametro. Usando questa definizione, la lunghezza di una circonferenza di raggio 3 centimetri è 6π centimetri e l’area del cerchio da questa racchiuso è 9π centimetri quadrati. Un giorno mi resi conto che l’aver lasciato i risultati scritti in questo modo aveva convinto implicitamente una parte della classe che l’area del cerchio di raggio 3 centimetri fosse inferiore a 10 centimetri quadrati. Questo nonostante fosse stato più volte ribadito che pi greco ha un valore pari a 3,14159.... Alcuni allievi tendevano a “cancellare mentalmente” π e a perdere così il senso della misura. I risultati degli esercizi erano per lo più formalmente corretti, ma le valutazioni numeriche su di essi del tutto errate. Stavo contribuendo a creare studenti “pseudostrutturati” nel senso di Anna Sfard 1, ovvero persone che si fermano agli aspetti sintattici della matematica, non essendo consapevoli del significato dei simboli che usano.
Che fare?
Avrei potuto chiedere il risultato approssimato. Quando ero ragazzina, a scuola si faceva così. Non scrivevamo che la lunghezza di una circonferenza era 6π o l’area di un cerchio era 9π. 6π diventava 18,84 e 9π era 28,26. Il corretto senso delle proporzioni era salvo. Questo approccio nascondeva però un’altra insidia: valendo sempre e solo 3,14, π diventava implicitamente un numero razionale. Come ovviare a questa “frode didattica” senza perdere il senso della misura? Pensai di accostare ai risultati esatti approssimazioni “a valle” usando il tasto π di una calcolatrice scientifica. Bisognava tenere la migliore approssimazione a meno di un millimetro per le lunghezze, a meno di un millimetro quadrato per le aree e a meno di un millimetro cubo per i volumi. Si salvavano così capra e cavoli: π veniva presentato come irrazionale e le circonferenze erano lunghe più del triplo del diametro.
L’operazione non fu indolore. Sorsero spontaneamente in classe dubbi filosofici del tipo: come faccio a dire di conoscere veramente un numero con infinite cifre decimali che non si ripetono periodicamente? I miei allievi mostravano grande difficoltà nel concepire l’infinito attuale dell’insieme delle cifre decimali di π. Avevano digerito con una certa disinvoltura l’infinito potenziale del contare, erano riusciti a bypassare discretamente le difficoltà con i numeri periodici grazie alla loro scrittura frazionaria, e con gli irrazionali algebrici grazie alla notazione radicale, ma questo “numeraz” (così lo definì un giorno Elisa) non riuscivano proprio a mandarlo giù! Stavo pretendendo troppo? Come aiutarli? Decisi di prendere il toro per le corna e affrontare con loro un ragionamento sulla natura dell’infinito matematico.
Hotel Aleph
Qualche anno prima avevo scritto un testo teatrale ispirato alla famosa metafora introdotta da Hilbert riguardante un hotel con infinite stanze che può essere completo pur avendo stanze disponibili. Lessi la pièce alla classe, e gli studenti si mostrarono molto contenti all’idea di metterla in scena come recita di fine anno anche se sembrava loro abbastanza inafferrabile. Grazie alla collaborazione degli insegnanti di Italiano (Laura Delpin),Educazione Artistica (Wilma Canton), Educazione Fisica (Laura Valli), Educazione Musicale (Laura De Simone) e sostegno (Bruno Raicovi) allestimmo lo spettacolo.
Il Backstage matematico
Dopo aver riletto il testo in classe, iniziò un dibattito. I ragazzi faticavano a capire come un hotel potesse essere completo pur avendo stanze disponibili. Cominciammo allora a ragionare sugli hotel reali. Se un hotel ha 10 stanze, quando è completo non ha stanze libere e neanche “liberabili”. Se chiedessi ad ogni cliente di muoversi nella stanza successiva, il cliente della decima stanza non saprebbe dove andare dal momento che non c’è un’undicesima camera. In un immaginario albergo con infinite stanze invece, questo problema è superabile. Il cliente della 1 va alla 2, quello della 2 alla 3, eccetera. Dal momento che non c’è un’ultima stanza, tutti trovano una nuova collocazione, la 1 risulterà libera e potrà ospitare un nuovo cliente. Avendo colto questo punto chiave, non fu troppo difficile comprendere come un albergo così surreale potesse all’occorrenza ospitare anche una comitiva composta da un’infinità di nuovi clienti. Sarebbe bastato spostare tutti gli ospiti nella camera contrassegnata dal numero doppio di quella che occupavano prima, e in un colpo solo tutte le camere dispari, che sono in numero infinito, sarebbero state liberate!In seguito leggemmo anche un breve dialogo tratto dal libro Discorsi e Dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze di Galileo e più precisamente il frammento in cui ci si interroga se siano “di più” i numeri naturali o i loro quadrati, incluso nella “Giornata Prima”.
Dopo le due letture chiesi alla classe di disegnare le due situazioni usando rappresentazioni in un piano cartesiano. “Hotel Aleph” venne rappresentato mediante la semiretta y=2x, anche se “piena di buchi” e il dialogo fra Sagredo, Salviati e Simplicio diventò “metà” della parabola y=x2 “bucherellata”.
Siccome lavoravo con allievi molto giovani, non mi spinsi oltre. Terminammo con la stessa perplessità espressa da Galilei, che fa dire a Salviati:«Queste son di quelle difficoltà che derivano dal discorrer che noi facciamo col nostro intelletto finito intorno agli infiniti, dandogli quelli attributi che noi diamo alle cose finite e terminate; il che penso che sia inconveniente, perché stimo che questi attributi di maggioranza, minoranza ed egualità non convenghino agli infiniti, ....»
In conclusione
Gli studenti si sono entusiasmati e divertiti facendo ragionamenti astratti. Le diverse prove dello spettacolo hanno permesso loro di “passare e ripassare” su un concetto difficile aiutandoli ad interiorizzarlo senza annoiarsi. Il muoversi in scena per rendere concretamente l’idea degli spostamenti fra stanze li ha aiutati a “incorporare” la biezione fra i numeri pari e i numeri naturali.Riscoprire in una fonte originale le perplessità di un genio quale Galilei è stato emozionante e ha consentito di presentare la matematica come un prodotto storico in continuo divenire. Il lavoro sinergico di sei insegnanti ha veicolato una visione unitaria ed ampia della cultura e la recita pubblica di fine anno è stata un momento di grande soddisfazione in cui i ragazzi si sono sperimentati nella duplice veste di attori e comunicatori scientifici con grande apprezzamento delle famiglie e del pubblico in generale. L’esperienza mi ha convinta che una “buona perplessità” sia una fonte di apprendimento più ricca e prolifica di una “certezza pseudostrutturata”. Che ne pensate?
Aleph e i numeri transfiniti
Aleph è la prima lettera degli alfabeti fenicio ed ebraico, la “progenitrice” della nostra A.
Il matematico Georg Cantor (1845-1918) la scelse per indicare i cardinali transfiniti che scoprì mentre stava introducendo il concetto di cardinalità all’interno di una nuova teoria: la teoria ingenua degli insiemi. In particolare indicò con aleph zero il più piccolo cardinale transfinito, quello associato ai numeri naturali.
La cardinalità venne inizialmente introdotta per confrontare gli insiemi finiti. L’insieme dei multipli di 4 minori di 10 è diverso dall’insieme dei numeri 1 e 2, ma questi sono equipotenti. Posso infatti associare 1 a 4 e 2 a 8 ed ho costruito una corrispondenza biunivoca che conta gli elementi. I due insiemi hanno la stessa cardinalità: 2.
Fintanto che ci si limita a insiemi finiti, un insieme ha sempre cardinalità strettamente maggiore di un qualunque suo sottoinsieme proprio. Quando si passa agli insiemi infiniti, invece, questa proprietà talmente intuitiva da costituire uno dei postulati generali della geometrica euclidea (il tutto è maggiore di una parte) non vale più. E così succede che i numeri pari e i numeri quadrati, pur essendo solo una parte dei numeri naturali, abbiano la stessa cardinalità di questi: aleph zero.
Si può dire di più: la proprietà di poter avere la stessa cardinalità di un sottoinsieme proprio è talmente connaturata agli insiemi infiniti da essere la loro definizione.
Matematica, mente, comunicazione
Insegnare matematica è difficile, lo sappiamo. I risultati nell’apprendimento di questa materia a livello mondiale sono lì a ricordarcelo. Per cercare di facilitarne l’apprendimento è importante prendere coscienza degli aspetti neurologici, psicologici, semiotici, linguistici, cognitivi e comunicativi intrinsecamente legati a esso.
Segnalo due libri illuminanti a questo proposito, che sono stati tradotti in italiano: Da dove viene la matematica di George Lakoff e Rafael E. Nunez (Bollati Boringhieri) e Psicologia del pensiero matematico di Anna Sfard (Erickson). Nel primo si cerca di rispondere alla perplessità galileiana: come può un essere con un cervello e una mente finiti comprendere l’infinito.
Si tratta di un’analisi cognitiva delle idee matematiche e del loro legame con la realtà da un lato e col nostro cervello dall’altro in cui viene assegnato alla metafora il ruolo fondamentale di tramite concettualizzante.
Nel secondo invece, la figlia di Zygmunt Bauman critica la dicotomia fra il pensiero e la comunicazione. Ritiene che molti problemi nell’apprendimento della matematica traggano origine dall’ambiguità insita nel linguaggio e nei discorsi sul pensiero. Introduce la “comognizione”, neologismo figlio della fusione fra “comunicazione” e “cognizione”. La comognizione è il pensiero visto come una forma individualizzata di comunicazione interpersonale ed è il modo in cui le idee matematiche si formano e si sviluppano dentro di noi.